Décomposition d'un cycle : énoncé (MPSI)

Notons $\pi$ le produit de droite ; on applique les transpositions de droite à gauche.

• Soit $i<k$. Les transpositions $(a_j\ a_{j+1})$ avec $j>i$, appliquées en premier, ne touchent pas $a_i$. Puis $(a_i\ a_{i+1})$ envoie $a_i$ sur $a_{i+1}$. Les suivantes, $(a_j\ a_{j+1})$ avec $j<i$, ne touchent pas $a_{i+1}$. Donc $\pi(a_i)=a_{i+1}$.
• Pour $a_k$ : $(a_{k-1}\ a_k)$ l'envoie sur $a_{k-1}$, puis $(a_{k-2}\ a_{k-1})$ sur $a_{k-2}$, et ainsi de suite jusqu'à $a_1$. Donc $\pi(a_k)=a_1$.
• Un point hors de $\{a_1,\dots,a_k\}$ est fixé par chaque facteur.

Donc $\pi=(a_1\ \cdots\ a_k)$. La seconde formule se vérifie de la même façon.