Dénombrer des cyclesCalculer l'ordre par le ppcmTester l'appartenance à $\mathfrak{A}_n$
- Caractériser les éléments d'ordre 2 de $\mathfrak{S}_6$ par leur décomposition en cycles disjoints, puis les dénombrer.
- Même question pour les éléments d'ordre 3.
- Combien de ces éléments d'ordre 2, et d'ordre 3, appartiennent à $\mathfrak{A}_6$ ?
Indice 1
Le ppcm des longueurs vaut 2 si et seulement si toutes les longueurs valent 2.
Indice 2
Pour compter les produits de deux transpositions disjointes, choisir deux paires disjointes, sans tenir compte de leur ordre.
Indice 3
Un 3-cycle est pair ; une permutation est paire si et seulement si elle a un nombre pair de cycles de longueur paire.
Corrigé
- L'ordre de $\sigma\neq\mathrm{id}$ est le ppcm des longueurs de ses cycles disjoints. Il vaut 2 si et seulement si tous les cycles sont des transpositions. Dans $\mathfrak{S}_6$, les types possibles sont : une, deux ou trois transpositions disjointes.
- Une transposition : $\binom{6}{2}=15$.
- Deux transpositions disjointes : on choisit une paire ($\binom62=15$), puis une paire disjointe ($\binom42=6$) ; chaque élément est compté deux fois (ordre des deux paires), soit $\frac{15\times6}{2}=45$.
- Trois transpositions disjointes : partitions de $[\![1,6]\!]$ en trois paires. La paire contenant 1 : 5 choix ; la paire contenant le plus petit élément restant : 3 choix ; la dernière est imposée. Soit $5\times3=15$.
Par unicité de la décomposition, ces éléments sont distincts. Il y a $15+45+15=75$ éléments d'ordre 2.
- L'ordre vaut 3 si et seulement si tous les cycles sont de longueur 3 : un 3-cycle, ou deux 3-cycles disjoints.
- 3-cycles : $\frac{6\times5\times4}{3}=40$.
- Deux 3-cycles disjoints : on partage $[\![1,6]\!]$ en deux parties de 3 éléments, $\frac{1}{2}\binom63=10$ façons ; chaque partie porte 2 cycles de longueur 3 ; soit $10\times2\times2=40$.
Il y a $40+40=80$ éléments d'ordre 3.
- Une permutation est paire si et seulement si elle a un nombre pair de cycles de longueur paire.
- Ordre 2 : une transposition (un cycle pair) est impaire ; deux transpositions disjointes donnent une permutation paire ; trois transpositions donnent une permutation impaire. Seules les 45 doubles transpositions sont dans $\mathfrak{A}_6$.
- Ordre 3 : aucun cycle de longueur paire, donc les 80 éléments sont dans $\mathfrak{A}_6$.
Résultat :
75 éléments d'ordre 2 (dont 45 dans $\mathfrak{A}_6$) ; 80 éléments d'ordre 3 (tous dans $\mathfrak{A}_6$)