Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$
Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$ : énoncé (MPSI)
Théorème
Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$
Pour $n \geqslant 2$, toute permutation de $\mathfrak{S}_n$ est un produit de transpositions.
Démonstration : Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$
Démonstration
Preuve
D'après le théorème de décomposition, $\sigma$ est un produit de cycles ; chaque cycle est un produit de transpositions d'après la propriété précédente. En mettant bout à bout ces écritures, $\sigma$ est un produit de transpositions.
Pour $\sigma=\mathrm{id}$, on écrit $\mathrm{id}=(1\ 2)(1\ 2)$ (ou on accepte le produit vide).
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Signature par les inversions
- Conjugaison de permutations
Dans le cours
Groupe symétrique : Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$