Soit $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 5&1&8&7&2&9&4&6&3\end{pmatrix}\in\mathfrak{S}_9.$$
- Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
- Déterminer l'ordre de $\sigma$.
- Calculer $\varepsilon(\sigma)$ par les cycles, puis par les orbites.
- Écrire $\sigma^{-1}$ comme produit de cycles à supports disjoints.
- Calculer $\sigma^{2026}$.
- Écrire $\sigma$ comme produit de transpositions et vérifier la parité de leur nombre.
Partir de 1 et suivre les images jusqu'à revenir à 1, puis recommencer avec le plus petit entier non rencontré.
L'ordre est le ppcm des longueurs des cycles disjoints.
Pour $\sigma^{2026}$, les cycles commutent : élever chaque cycle à la puissance 2026, en réduisant l'exposant modulo la longueur du cycle.
- On suit les images :
- $1\mapsto5\mapsto2\mapsto1$ : cycle $(1\ 5\ 2)$ ;
- $3\mapsto8\mapsto6\mapsto9\mapsto3$ : cycle $(3\ 8\ 6\ 9)$ ;
- $4\mapsto7\mapsto4$ : cycle $(4\ 7)$.
Tous les entiers sont rencontrés ($3+4+2=9$, aucun point fixe). Donc $$\sigma=(1\ 5\ 2)(3\ 8\ 6\ 9)(4\ 7).$$
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Les cycles sont à supports disjoints, de longueurs $3,4,2$. L'ordre de $\sigma$ est $\mathrm{ppcm}(3,4,2)=12$.
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Par les cycles : $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{3-1}(-1)^{4-1}(-1)^{2-1}=1\times(-1)\times(-1)=1$.
Par les orbites : les orbites sont $\{1,2,5\}$, $\{3,6,8,9\}$, $\{4,7\}$, donc $p=3$ et $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{9-3}=1$. La permutation $\sigma$ est paire.
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Les cycles commutent, donc $\sigma^{-1}=(1\ 5\ 2)^{-1}(3\ 8\ 6\ 9)^{-1}(4\ 7)^{-1}$. L'inverse d'un cycle s'obtient en renversant l'ordre : $$\sigma^{-1}=(2\ 5\ 1)(9\ 6\ 8\ 3)(4\ 7)=(1\ 2\ 5)(3\ 9\ 6\ 8)(4\ 7).$$
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Comme $\sigma^{12}=\mathrm{id}$ et $2026=12\times168+10$, on a $\sigma^{2026}=\sigma^{10}$. Les cycles commutant, $\sigma^{10}=(1\ 5\ 2)^{10}(3\ 8\ 6\ 9)^{10}(4\ 7)^{10}$.
- $(1\ 5\ 2)$ est d'ordre 3 et $10\equiv1\pmod 3$ : $(1\ 5\ 2)^{10}=(1\ 5\ 2)$.
- $(3\ 8\ 6\ 9)$ est d'ordre 4 et $10\equiv2\pmod4$ : $(3\ 8\ 6\ 9)^{10}=(3\ 8\ 6\ 9)^2$, qui envoie $3\mapsto6$, $6\mapsto3$, $8\mapsto9$, $9\mapsto8$, soit $(3\ 6)(8\ 9)$.
- $(4\ 7)$ est d'ordre 2 et 10 est pair : $(4\ 7)^{10}=\mathrm{id}$.
Donc $\sigma^{2026}=(1\ 5\ 2)(3\ 6)(8\ 9)$.
- Avec $(a_1\ \cdots\ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdots(a_{k-1}\ a_k)$ : $$\sigma=(1\ 5)(5\ 2)(3\ 8)(8\ 6)(6\ 9)(4\ 7).$$ On obtient 6 transpositions, nombre pair, ce qui est cohérent avec $\varepsilon(\sigma)=(-1)^6=1$.
$\sigma=(1\ 5\ 2)(3\ 8\ 6\ 9)(4\ 7)$, ordre 12, $\varepsilon(\sigma)=1$, $\sigma^{-1}=(1\ 2\ 5)(3\ 9\ 6\ 8)(4\ 7)$, $\sigma^{2026}=(1\ 5\ 2)(3\ 6)(8\ 9)$