- Soit $c=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)\in\mathfrak{S}_6$. Décomposer $c^2$, $c^3$, $c^4$, $c^5$ en cycles à supports disjoints.
- Soit $c=(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ un $k$-cycle de $\mathfrak{S}_n$ ($k\geqslant2$), $m\in\mathbb{N}^*$ et $d=\mathrm{pgcd}(m,k)$. Montrer que :
- si $k\mid m$, $c^m=\mathrm{id}$ ;
- sinon, $c^m$ est un produit de $d$ cycles à supports disjoints, tous de longueur $\frac{k}{d}$.
- En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $m$ pour que $c^m$ soit un $k$-cycle.
- Application : soit $c=(1\ 2\ \cdots\ 12)\in\mathfrak{S}_{12}$. Pour quels $m\in[\![1,12]\!]$ la permutation $c^m$ est-elle un 12-cycle ? Décomposer $c^8$.
On rappelle que $c^m(a_j)=a_{j+m}$, l'indice étant lu modulo $k$.
L'orbite de $a_j$ sous $c^m$ correspond à l'ensemble des indices $j+qm$, $q\in\mathbb{Z}$, modulo $k$. Montrer que c'est l'ensemble des $j+ld$ modulo $k$.
Utiliser une relation de Bézout $d=um+vk$, puis compter les classes modulo $k$ de la forme $j+ld$.
- Ici $c^m(x)$ s'obtient en ajoutant $m$ à $x$ modulo 6 (en restant dans $[\![1,6]\!]$).
- $c^2$ : $1\mapsto3\mapsto5\mapsto1$ et $2\mapsto4\mapsto6\mapsto2$, donc $c^2=(1\ 3\ 5)(2\ 4\ 6)$.
- $c^3$ : $1\mapsto4\mapsto1$, $2\mapsto5\mapsto2$, $3\mapsto6\mapsto3$, donc $c^3=(1\ 4)(2\ 5)(3\ 6)$.
- $c^4$ : $1\mapsto5\mapsto3\mapsto1$, $2\mapsto6\mapsto4\mapsto2$, donc $c^4=(1\ 5\ 3)(2\ 6\ 4)$.
- $c^5=c^{-1}=(6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1)=(1\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2)$.
On constate que $c^m$ a $\mathrm{pgcd}(m,6)$ cycles de longueur $\frac{6}{\mathrm{pgcd}(m,6)}$.
- Les points hors de $\{a_1,\dots,a_k\}$ sont fixés par $c$, donc par $c^m$. Il reste à étudier $c^m$ sur $\{a_1,\dots,a_k\}$, où $c^m(a_j)=a_{j+m}$ (indices modulo $k$). Par récurrence, $(c^m)^q(a_j)=a_{j+qm}$ pour $q\in\mathbb{N}$, et aussi pour $q\in\mathbb{Z}$ en utilisant $c^{-m}(a_j)=a_{j-m}$.
L'orbite de $a_j$ sous $c^m$ est donc $\{a_i \mid i\equiv j+qm\pmod k,\ q\in\mathbb{Z}\}$. Montrons que les indices obtenus sont exactement ceux de la forme $i\equiv j+ld\pmod k$, $l\in\mathbb{Z}$.
- Si $i\equiv j+qm$, alors $i\equiv j+\big(q\tfrac{m}{d}\big)d$ : de la forme voulue.
- Par Bézout, il existe $u,v\in\mathbb{Z}$ tels que $d=um+vk$. Alors $j+ld=j+(lu)m+(lv)k\equiv j+(lu)m\pmod k$ : c'est un indice de l'orbite.
Comme $d\mid k$, les entiers $j+ld$ prennent modulo $k$ exactement $\frac{k}{d}$ valeurs distinctes (celles obtenues pour $l=0,\dots,\frac kd-1$). Chaque orbite contenue dans $\{a_1,\dots,a_k\}$ a donc $\frac kd$ éléments ; ces orbites partitionnent un ensemble à $k$ éléments, il y en a $d$.
- Si $k\mid m$, alors $d=k$ : toutes les orbites sont réduites à un point et $c^m=\mathrm{id}$.
- Sinon, $d<k$ et les $d$ orbites ont $\frac kd\geqslant2$ éléments. Par le théorème de décomposition, $c^m$ est le produit de $d$ cycles à supports disjoints de longueur $\frac kd$, dont les supports sont ces orbites.
-
$c^m$ est un $k$-cycle si et seulement s'il a une seule orbite de cardinal $k$, c'est-à-dire $d=1$ : $c^m$ est un $k$-cycle si et seulement si $\mathrm{pgcd}(m,k)=1$.
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Pour $k=12$ : $c^m$ est un 12-cycle si et seulement si $\mathrm{pgcd}(m,12)=1$, c'est-à-dire $m\in\{1,5,7,11\}$.
Pour $m=8$ : $d=\mathrm{pgcd}(8,12)=4$, donc $c^8$ est produit de 4 cycles de longueur 3. On ajoute 8 modulo 12 : $1\mapsto9\mapsto5\mapsto1$, $2\mapsto10\mapsto6\mapsto2$, $3\mapsto11\mapsto7\mapsto3$, $4\mapsto12\mapsto8\mapsto4$. Donc $$c^8=(1\ 9\ 5)(2\ 10\ 6)(3\ 11\ 7)(4\ 12\ 8).$$
$c^m$ est produit de $\mathrm{pgcd}(m,k)$ cycles de longueur $\frac{k}{\mathrm{pgcd}(m,k)}$ ; $k$-cycle si et seulement si $\mathrm{pgcd}(m,k)=1$ ; $m\in\{1,5,7,11\}$ ; $c^8=(1\ 9\ 5)(2\ 10\ 6)(3\ 11\ 7)(4\ 12\ 8)$