Compter les inversionsCalculer une signature par plusieurs méthodesDémontrer une propriété des inversions
Soit $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\ 4&6&1&7&3&2&5\end{pmatrix}\in\mathfrak{S}_7.$$
- Calculer le nombre d'inversions $I(\sigma)$ et en déduire $\varepsilon(\sigma)$.
- Décomposer $\sigma$ en cycles à supports disjoints et retrouver $\varepsilon(\sigma)$.
- Montrer que, pour toute $\pi\in\mathfrak{S}_n$, $I(\pi^{-1})=I(\pi)$. Vérifier sur $\sigma$.
Indice 1
Pour chaque terme de la deuxième ligne, compter les termes plus petits situés à sa droite.
Indice 2
Pour la question 3, associer à une inversion $(i,j)$ de $\pi$ le couple formé par $\pi(j)$ et $\pi(i)$.
Indice 3
Vérifier que cette association est une bijection entre les inversions de $\pi$ et celles de $\pi^{-1}$.
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