Composer des cyclesDécomposer en cycles à supports disjointsCalculer une signature
Écrire chacune des permutations suivantes comme produit de cycles à supports disjoints et donner sa signature.
- $\alpha=(1\ 2\ 3)(2\ 3\ 4)$ dans $\mathfrak{S}_4$.
- $\beta=(1\ 2\ 3\ 4)(1\ 3)$ dans $\mathfrak{S}_4$.
- $\gamma=(1\ 2)(1\ 3)(1\ 4)(1\ 5)$ dans $\mathfrak{S}_5$.
- Calculer $(2\ 3\ 4)(1\ 2\ 3)$ et comparer avec $\alpha$.
Indice 1
On applique les facteurs de droite à gauche : pour $\alpha(1)$, on calcule d'abord l'image de 1 par $(2\ 3\ 4)$.
Indice 2
Un élément qui n'apparaît pas dans un cycle est fixé par ce cycle.
Indice 3
Pour la signature, on peut utiliser le morphisme : la signature d'un produit est le produit des signatures des facteurs, et contrôler avec le résultat obtenu.
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