Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Linéarité, Chasles, positivité, croissance
Linéarité, Chasles, positivité, croissance : énoncé (MPSI)
Propriété
Linéarité, Chasles, positivité, croissance
Soient $f$ et $g$ continues par morceaux sur un intervalle $I$, $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ et $a,b,c\in I$.
- Linéarité : $\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$.
- Relation de Chasles : $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$, quel que soit l'ordre de $a,b,c$.
- Positivité : si $a\le b$ et $f\ge0$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f\ge0$.
- Croissance : si $a\le b$ et $f\le g$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$.
- Inégalité triangulaire : si $a\le b$, $|f|$ est continue par morceaux et $\left|\int_a^b f\right|\le\int_a^b|f|$.
- Modifier $f$ en un nombre fini de points ne change pas la valeur de l'intégrale.
Attention
Ordre des bornes
Positivité, croissance et inégalité triangulaire exigent $a\le b$. Par exemple $\int_1^0 1\,\mathrm{d}t=-1<0$ alors que $1\ge0$. Lorsque l'ordre des bornes est inconnu, on écrit $$\left|\int_a^b f\right|\le\left|\int_a^b|f|\right|.$$
Exemple
Calculs élémentaires
- Pour $\lfloor\cdot\rfloor$ sur $[0,3]$ : $\int_0^3\lfloor t\rfloor\,\mathrm{d}t=0\times1+1\times1+2\times1=3$.
- Pour $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$ sur $[0,2]$ : par Chasles, $\int_0^2 f=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t+\int_1^2(t-1)\,\mathrm{d}t=\frac12+\frac12=1$. On a utilisé que modifier $f$ au point $1$ ne change pas l'intégrale sur $[0,1]$.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Encadrement du logarithme par le reste intégral
- Concentration de $nt^n$ au voisinage de $1$
- Intégrales $\int_0^{\pi/4}\tan^nx\,\mathrm{d}x$ et séries alternées (type CCINP)
Dans le cours
Intégration sur un segment : Linéarité, Chasles, positivité, croissance