Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Inégalité de la moyenne
Inégalité de la moyenne : énoncé (MPSI)
Propriété
Inégalité de la moyenne
Soient $f,g$ continues par morceaux sur $[a,b]$ avec $a\le b$. Alors $$\left|\int_a^b fg\right|\le\sup_{[a,b]}|f|\times\int_a^b|g|.$$ En particulier, avec $g=1$ : $\left|\int_a^b f\right|\le(b-a)\sup_{[a,b]}|f|$.
Justification. $|fg|\le\left(\sup|f|\right)|g|$ sur $[a,b]$ ; on applique l'inégalité triangulaire puis la croissance.
S’entraîner
- Approximation de $\cos$ par Taylor-Lagrange
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
- Concentration de $nt^n$ au voisinage de $1$
- Erreur de la méthode des rectangles au premier ordre (type Mines-Ponts)