Intégrale nulle d'une fonction continue positive : énoncé (MPSI)
Intégrale nulle d'une fonction continue positive
Soit $f$ continue et positive sur $[a,b]$, avec $a<b$. Si $\int_a^b f=0$, alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.
De façon équivalente : une fonction continue, positive et non identiquement nulle sur $[a,b]$ a une intégrale strictement positive.
Démonstration : Intégrale nulle d'une fonction continue positive
Preuve
On raisonne par contraposée. Supposons qu'il existe $x_0\in[a,b]$ avec $f(x_0)>0$. Posons $\varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0$.
Par continuité de $f$ en $x_0$, il existe $\eta>0$ tel que, pour tout $x\in[a,b]$ avec $|x-x_0|\le\eta$, on ait $|f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon$, donc $f(x)\ge\frac{f(x_0)}{2}$.
L'ensemble $[\alpha,\beta]=[x_0-\eta,x_0+\eta]\cap[a,b]$ est un segment non réduit à un point, car $a<b$ ; donc $\alpha<\beta$.
Par Chasles, $\int_a^b f=\int_a^\alpha f+\int_\alpha^\beta f+\int_\beta^b f$. Les deux intégrales extrêmes sont positives car $f\ge0$. Par croissance, $$\int_\alpha^\beta f\ge(\beta-\alpha)\frac{f(x_0)}{2}>0.$$ Donc $\int_a^b f>0$. Par contraposée, si $\int_a^b f=0$, alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.
Les trois hypothèses sont nécessaires
- Sans continuité : la fonction nulle sur $[0,1]$ sauf $f(1/2)=1$ est positive, continue par morceaux, d'intégrale nulle, et pas nulle.
- Sans positivité : $\int_{-1}^1 t\,\mathrm{d}t=0$ alors que $t\mapsto t$ n'est pas nulle.
- Avec $a=b$ : toute intégrale est nulle, aucune conclusion.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Encadrement du logarithme par le reste intégral
- Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
Dans le cours
Intégration sur un segment : Intégrale nulle d'une fonction continue positive