Intégrale d'une fonction continue par morceaux : définition (MPSI)
Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Soit $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$. On admet qu'il existe un unique réel $I$ tel que, pour toutes fonctions en escalier $\varphi$ et $\psi$ vérifiant $\varphi\le f\le\psi$, $$\int_{[a,b]}\varphi\le I\le\int_{[a,b]}\psi.$$ Ce réel est l'intégrale de $f$ sur $[a,b]$, notée $\int_{[a,b]}f$ ou $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. La variable $t$ est muette.
Convention. On pose $\int_a^a f=0$ et, si $a<b$, $\int_b^a f=-\int_a^b f$.
Construction non exigible
Le programme n'exige pas la construction de l'intégrale. Ce qui compte : l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire sous la courbe, et les propriétés ci-dessous, que l'on doit savoir utiliser sans hésiter.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Encadrement du logarithme par le reste intégral
- Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
Dans le cours
Intégration sur un segment : Intégrale d'une fonction continue par morceaux