Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]-1, +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$.
- Montrer, en revenant à la définition avec $\varepsilon$ et $\eta$, que $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \frac{3}{2}$.
- En déduire la limite de la suite de terme général $f\left(1 + \frac{1}{n}\right)$, $n \geq 1$.
Mettre $f(x) - \frac{3}{2}$ au même dénominateur : le numérateur se factorise par $x - 1$.
Se restreindre à $|x - 1| \leq 1$ pour minorer le dénominateur par une constante strictement positive.
Pour la question 2, utiliser le sens direct de la caractérisation séquentielle.
1. Pour $x \in I$ : $$f(x) - \frac{3}{2} = \frac{2(2x+1) - 3(x+1)}{2(x+1)} = \frac{x - 1}{2(x+1)}.$$ Restriction. Si $|x - 1| \leq 1$, alors $x \in [0, 2]$, donc $x + 1 \geq 1 > 0$ et $$\left|f(x) - \frac{3}{2}\right| = \frac{|x-1|}{2(x+1)} \leq \frac{|x - 1|}{2}.$$ Choix de $\eta$. Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\eta = \min(1, 2\varepsilon) > 0$. Soit $x \in I$ tel que $|x - 1| \leq \eta$. Alors $|x - 1| \leq 1$, donc la majoration précédente s'applique : $$\left|f(x) - \frac{3}{2}\right| \leq \frac{|x-1|}{2} \leq \frac{\eta}{2} \leq \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ La définition est vérifiée : $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \frac{3}{2}$.
2. La suite $u_n = 1 + \frac{1}{n}$ est à valeurs dans $I$ et tend vers $1$. Comme $f$ tend vers $\frac{3}{2}$ en $1$, la caractérisation séquentielle donne $f(u_n) \to \frac{3}{2}$. On peut le vérifier : $f(u_n) = \frac{3 + 2/n}{2 + 1/n} \to \frac{3}{2}$.
$\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{3}{2}$ (avec $\eta = \min(1, 2\varepsilon)$) ; $f(1 + 1/n) \to \frac{3}{2}$