Étudier la continuité à gauche et à droiteLever une forme indéterminée par quantité conjuguéeProlongement par continuité
- Soit $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $h(x) = \lfloor x \rfloor \sin(\pi x)$. Montrer que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$, bien que la partie entière ne le soit pas.
- Soit $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$ pour $x \in [-1, 0[\, \cup\, ]0, +\infty[$. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ et donner la valeur du prolongement.
Indice 1
Distinguer les points non entiers et les entiers $n$ ; en $n$, calculer séparément les limites à gauche et à droite.
Indice 2
Sur $[n-1, n[$, la partie entière vaut $n - 1$.
Indice 3
Pour $f$, multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt{1+x} + 1$.
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