- Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue telle que $f(2x) = f(x)$ pour tout réel $x$. Montrer que $f$ est constante.
- Montrer que la conclusion tombe en défaut si l'on suppose seulement $f$ continue sur $\mathbb{R}^*$.
- Déterminer toutes les fonctions $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continues telles que $g(2x) = g(x) + x$ pour tout réel $x$.
Appliquer la relation en $\frac{x}{2}$, puis itérer : exprimer $f(x)$ à l'aide de $f\left(\frac{x}{2^n}\right)$.
Faire tendre $n$ vers $+\infty$ et utiliser la continuité en un seul point bien choisi.
Pour la question 3, chercher une fonction simple solution, puis étudier $g(x) - x$.
1. Soit $x \in \mathbb{R}$. En appliquant la relation en $\frac{x}{2}$ : $f(x) = f\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right)$. Par récurrence immédiate, $f(x) = f\left(\frac{x}{2^n}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
La suite $\left(\frac{x}{2^n}\right)$ tend vers $0$. Par continuité de $f$ en $0$ et caractérisation séquentielle, $f\left(\frac{x}{2^n}\right) \to f(0)$. Or cette suite est constante égale à $f(x)$. Par unicité de la limite, $f(x) = f(0)$. Donc $f$ est constante.
2. Soit $f$ définie par $f(0) = 0$ et $f(x) = 1$ pour $x \neq 0$. Si $x \neq 0$, alors $2x \neq 0$ et $f(2x) = 1 = f(x)$ ; si $x = 0$, $f(0) = f(0)$. La relation est vérifiée, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ (constante sur chacun des intervalles $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$), mais $f$ n'est pas constante. La continuité en $0$ est donc essentielle dans la question 1.
3. Soit $g$ continue vérifiant la relation, et $k(x) = g(x) - x$, continue sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x$ : $$k(2x) = g(2x) - 2x = g(x) + x - 2x = g(x) - x = k(x).$$ Par la question 1, $k$ est constante égale à $c = k(0) = g(0)$, donc $g(x) = x + c$.
Réciproquement, si $g(x) = x + c$, alors $g(2x) = 2x + c = (x + c) + x = g(x) + x$, et $g$ est continue. Les solutions sont les fonctions $x \mapsto x + c$, $c \in \mathbb{R}$.
$f$ constante ; $g(x) = x + c$ avec $c \in \mathbb{R}$