Prépa, 1re année › Logique et raisonnements › Démontrer une équivalence
Démontrer une équivalence : méthode (MPSI)
Méthode
Démontrer une équivalence
Deux stratégies :
- Par double implication : on démontre $P\Rightarrow Q$, puis séparément $Q\Rightarrow P$. C'est la méthode la plus sûre.
- Par une chaîne d'équivalences $P\Leftrightarrow P_1\Leftrightarrow\dots\Leftrightarrow Q$ : à chaque étape, il faut vérifier que le passage marche dans les deux sens. Les opérations dangereuses sont l'élévation au carré, la multiplication par une quantité qui peut être nulle, l'application d'une fonction non injective.
En cas de doute sur un sens, on écrit $\Rightarrow$ et on vérifie à la fin.
Exemple
Résoudre $\sqrt{x+2}=x$
Pour $x\geq -2$, on a $\sqrt{x+2}\geq 0$. Donc si $\sqrt{x+2}=x$, nécessairement $x\geq 0$. De plus, pour deux réels positifs $a$ et $b$, $a=b\Leftrightarrow a^2=b^2$. On obtient la chaîne correcte : $$\sqrt{x+2}=x\iff\begin{cases}x\geq 0\\ x+2=x^2\end{cases}\iff\begin{cases}x\geq 0\\ (x-2)(x+1)=0\end{cases}\iff x=2.$$ L'ensemble des solutions est $\{2\}$. Si l'on avait écrit directement $\sqrt{x+2}=x\Leftrightarrow x+2=x^2$, on aurait trouvé à tort la solution $-1$ : pour $x=-1$, $\sqrt{1}=1\neq -1$.
S’entraîner
- Implications emboîtées
- Vrai ou faux : l'ordre des quantificateurs
- Quantificateurs et continuité
- Écriture unique $n=2^a(2b+1)$
- Examen : suite de Fibonacci et récurrences