Contraposée et négation d'une implication : énoncé (MPSI)
Contraposée et négation d'une implication
Pour toutes assertions $P$ et $Q$ :
- $P\Rightarrow Q$ équivaut à sa contraposée $(\neg Q)\Rightarrow(\neg P)$ ;
- la négation de $P\Rightarrow Q$ est $P\wedge(\neg Q)$.
En revanche, une implication et sa réciproque ne sont pas équivalentes en général.
Démonstration : Contraposée et négation d'une implication
Preuve
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Par définition, $(\neg Q)\Rightarrow(\neg P)$ est $\neg(\neg Q)\vee(\neg P)$, c'est-à-dire $Q\vee(\neg P)$ par double négation, puis $(\neg P)\vee Q$ par commutativité. C'est la définition de $P\Rightarrow Q$.
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Par De Morgan, $\neg\big((\neg P)\vee Q\big)$ équivaut à $\neg(\neg P)\wedge(\neg Q)$, c'est-à-dire à $P\wedge(\neg Q)$.
Pour la réciproque, il suffit d'un contre-exemple : avec $P$ fausse et $Q$ vraie, $P\Rightarrow Q$ est vraie mais $Q\Rightarrow P$ est fausse.
Réciproque et contraposée
Pour $x\in\mathbb{R}$, l'implication « $x=2\Rightarrow x^2=4$ » est vraie.
- Sa contraposée « $x^2\neq 4\Rightarrow x\neq 2$ » est vraie (elle lui est équivalente).
- Sa réciproque « $x^2=4\Rightarrow x=2$ » est fausse : $x=-2$ est un contre-exemple.
La négation d'une implication n'est pas une implication : la négation de « $x=2\Rightarrow x^2=4$ » est « $x=2$ et $x^2\neq 4$ ».
S’entraîner
- Implications emboîtées
- Écrire et nier des énoncés quantifiés
- Condition nécessaire, condition suffisante
- Deux raisonnements par contraposée
- Quantificateurs et continuité
Dans le cours
Logique et raisonnements : Contraposée et négation d'une implication