Soient $P$, $Q$, $R$ trois assertions.
- À l'aide des règles de calcul du cours (définition de l'implication, associativité, De Morgan), montrer que $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$ équivaut à $(P\wedge Q)\Rightarrow R$.
- L'assertion $(P\Rightarrow Q)\Rightarrow R$ est-elle équivalente à $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$ ? Justifier.
- Montrer que $(P\Rightarrow Q)\wedge(P\Rightarrow R)$ équivaut à $P\Rightarrow(Q\wedge R)$.
Remplacer chaque implication $A\Rightarrow B$ par $(\neg A)\vee B$.
Pour la question 2, chercher une ligne de la table de vérité où les deux assertions diffèrent : on peut essayer $P$ fausse.
Pour la question 3, utiliser la distributivité de $\vee$ sur $\wedge$.
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Par définition, $Q\Rightarrow R$ est $(\neg Q)\vee R$, donc $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$ est $(\neg P)\vee\big((\neg Q)\vee R\big)$. Par associativité de $\vee$, c'est $\big((\neg P)\vee(\neg Q)\big)\vee R$. Par De Morgan, $(\neg P)\vee(\neg Q)$ équivaut à $\neg(P\wedge Q)$. On obtient $\neg(P\wedge Q)\vee R$, qui est par définition $(P\wedge Q)\Rightarrow R$.
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Non. Prenons $P$ fausse, $Q$ vraie, $R$ fausse.
- $P\Rightarrow Q$ est vraie car $P$ est fausse ; donc $(P\Rightarrow Q)\Rightarrow R$ a une prémisse vraie et une conclusion fausse : elle est fausse.
- $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$ est vraie car $P$ est fausse.
Les deux assertions n'ont pas la même valeur de vérité dans ce cas, elles ne sont pas équivalentes. L'implication n'est pas associative : les parenthèses comptent.
- $(P\Rightarrow Q)\wedge(P\Rightarrow R)$ est $\big((\neg P)\vee Q\big)\wedge\big((\neg P)\vee R\big)$. Par distributivité de $\vee$ sur $\wedge$ (appliquée avec $\neg P$ à la place de $P$), c'est $(\neg P)\vee(Q\wedge R)$, c'est-à-dire $P\Rightarrow(Q\wedge R)$.
- équivalentes ; 2. non équivalentes (contre-exemple : $P$ fausse, $Q$ vraie, $R$ fausse) ; 3. équivalentes