Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
- On considère $A$ : « $\forall x\in\mathbb{R},\ \exists M\in\mathbb{R},\ f(x)\leq M$ » et $B$ : « $\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\leq M$ ». Montrer que $A$ est vraie pour toute fonction $f$, que $B\Rightarrow A$, et donner une fonction pour laquelle $B$ est fausse.
On dit que $f$ vérifie $(U)$ si $$\forall\varepsilon>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \big(|x-y|\leq\eta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon\big),$$ et que $f$ vérifie $(C)$ si $$\forall x\in\mathbb{R},\ \forall\varepsilon>0,\ \exists\eta>0,\ \forall y\in\mathbb{R},\ \big(|x-y|\leq\eta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon\big).$$
- Écrire la négation de $(U)$.
- Montrer que $x\mapsto 3x+1$ vérifie $(U)$.
- Montrer que $x\mapsto x^2$ ne vérifie pas $(U)$.
- Montrer que $(U)\Rightarrow(C)$, puis que $x\mapsto x^2$ vérifie $(C)$. Commenter.
Question 1 : dans $A$, le majorant peut dépendre de $x$ ; pour $B$, penser à $f=\mathrm{id}$.
Question 2 : la propriété finale est une implication ; sa négation est une conjonction.
Question 4 : prendre $\varepsilon=1$ ; pour $\eta>0$ donné, choisir $x$ grand (de l'ordre de $\frac{1}{\eta}$) et $y=x+\eta$.
Question 5 : pour $x^2$, écrire $|y^2-x^2|=|y-x|\,|y+x|$ et majorer $|y+x|$ par $|y-x|+2|x|$ ; choisir $\eta$ en fonction de $x$ et $\varepsilon$.
- Soit $x\in\mathbb{R}$. Le réel $M=f(x)$ vérifie $f(x)\leq M$ : $A$ est vraie, quelle que soit $f$.
Si $B$ est vraie, un réel $M$ vérifie $f(x)\leq M$ pour tout $x$ ; pour chaque $x$, ce même $M$ convient dans $A$. Donc $B\Rightarrow A$.
Pour $f=\mathrm{id}$, la négation de $B$, « $\forall M\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R},\ f(x)>M$ », est vraie : pour $M$ donné, $x=M+1$ convient. Donc $B$ est fausse ($B$ signifie « $f$ est majorée »).
-
Négation de $(U)$ : $$\exists\varepsilon>0,\ \forall\eta>0,\ \exists (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ |x-y|\leq\eta\ \text{et}\ |f(x)-f(y)|>\varepsilon.$$
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Soit $f(x)=3x+1$ et $\varepsilon>0$. Posons $\eta=\dfrac{\varepsilon}{3}>0$. Soit $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ avec $|x-y|\leq\eta$. Alors $|f(x)-f(y)|=3|x-y|\leq 3\eta=\varepsilon$. Donc $f$ vérifie $(U)$.
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Soit $f(x)=x^2$. Montrons la négation de $(U)$ avec $\varepsilon=1$. Soit $\eta>0$. Posons $x=\dfrac{1}{\eta}$ et $y=x+\eta$. Alors $|x-y|=\eta\leq\eta$ et $$|f(y)-f(x)|=(y-x)(y+x)=\eta\left(\frac{2}{\eta}+\eta\right)=2+\eta^2>1.$$ La négation de $(U)$ est vraie : $x\mapsto x^2$ ne vérifie pas $(U)$.
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Supposons $(U)$. Soient $x\in\mathbb{R}$ et $\varepsilon>0$. Par $(U)$, il existe $\eta>0$ tel que pour tout couple $(x',y)$ vérifiant $|x'-y|\leq\eta$, on ait $|f(x')-f(y)|\leq\varepsilon$. En particulier avec $x'=x$ : pour tout $y$ tel que $|x-y|\leq\eta$, $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$. C'est $(C)$.
Pour $f(x)=x^2$ : soient $x\in\mathbb{R}$ et $\varepsilon>0$. Posons $\eta=\min\left(1,\dfrac{\varepsilon}{2|x|+1}\right)>0$. Soit $y$ tel que $|x-y|\leq\eta$. Alors $|y+x|=|(y-x)+2x|\leq|y-x|+2|x|\leq 1+2|x|$, donc $$|y^2-x^2|=|y-x|\,|y+x|\leq\eta\,(2|x|+1)\leq\varepsilon.$$ Ainsi $x\mapsto x^2$ vérifie $(C)$.
Commentaire. $(C)$ est la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$ : le $\eta$ peut dépendre de $x$. Dans $(U)$, le quantificateur $\forall x$ est placé après $\exists\eta$ : un même $\eta$ doit convenir pour tous les points. La fonction carré montre que $(C)\Rightarrow(U)$ est fausse : le $\eta$ construit tend vers $0$ quand $|x|$ grandit, et la question 4 prouve qu'on ne peut pas faire mieux. La propriété $(U)$ s'appelle continuité uniforme ; elle est étudiée dans le chapitre sur la continuité.
$A$ toujours vraie, $B$ fausse pour $\mathrm{id}$ ; non $(U)$ : $\exists\varepsilon>0,\ \forall\eta>0,\ \exists(x,y),\ |x-y|\leq\eta$ et $|f(x)-f(y)|>\varepsilon$ ; $3x+1$ vérifie $(U)$ ; $x^2$ vérifie $(C)$ mais pas $(U)$