Exercice corrigé : Écriture unique $n=2^a(2b+1)$

1. $96=32\times 3=2^5(2\times 1+1)$ : $(a,b)=(5,1)$. $45=2^0(2\times 22+1)$ : $(a,b)=(0,22)$.

2. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, notons $P(n)$ : « il existe $(a,b)\in\mathbb{N}^2$ tel que $n=2^a(2b+1)$ ».

Initialisation. $1=2^0(2\times 0+1)$, donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geq 1$ tel que $P(k)$ soit vraie pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$.

• Si $n+1$ est impair, alors $n$ est pair, $b=\dfrac{n}{2}\in\mathbb{N}$ et $n+1=2^0(2b+1)$.
• Si $n+1$ est pair, $n+1=2m$ avec $m\in\mathbb{N}$. On a $m\geq 1$ et $m=\dfrac{n+1}{2}\leq n$ car $n\geq 1$. Par hypothèse, $P(m)$ est vraie : $m=2^a(2b+1)$ avec $(a,b)\in\mathbb{N}^2$. Alors $n+1=2^{a+1}(2b+1)$.

Dans les deux cas $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence forte, $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$. Une récurrence simple ne suffit pas : on utilise le rang $m=\frac{n+1}{2}$, qui n'est pas $n$ en général.

3. Soient $(a,b)$ et $(c,d)$ dans $\mathbb{N}^2$ tels que $2^a(2b+1)=2^c(2d+1)$. Supposons par l'absurde $a\neq c$ ; les rôles étant symétriques, on peut supposer $a<c$. En divisant par $2^a$ : $$2b+1=2^{c-a}(2d+1).$$ Le membre de gauche est impair ; celui de droite est pair car $c-a\geq 1$. Contradiction. Donc $a=c$. En divisant par $2^a$, il reste $2b+1=2d+1$, donc $b=d$.

Conclusion. Tout $n\in\mathbb{N}^*$ s'écrit de façon unique $2^a(2b+1)$ : $2^a$ est la plus grande puissance de $2$ qui divise $n$, et $2b+1$ la partie impaire de $n$.

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