Exercice corrigé : Vrai ou faux : l'ordre des quantificateurs

1. Vraie. Soit $x\in\mathbb{R}$. Le réel $y=-x$ vérifie $x+y=0$.

2. Fausse. Sa négation est $\forall y\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R},\ x+y\neq 0$. Soit $y\in\mathbb{R}$ ; avec $x=1-y$, on a $x+y=1\neq 0$. La négation est vraie, donc l'assertion est fausse. Comparée à 1, seul l'ordre des quantificateurs a changé.

3. Fausse. Sa négation est $\exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ xy\neq 1$. Le réel $x=0$ convient : pour tout $y$, $0\times y=0\neq 1$.

4. Vraie. Le réel $x=0$ vérifie $0\times y=0$ pour tout $y\in\mathbb{R}$.

5. Vraie. Soit $n\in\mathbb{N}$. L'entier $m=n^2+1$ vérifie $m>n^2$.

6. Fausse. Sa négation est $\forall m\in\mathbb{N},\ \exists n\in\mathbb{N},\ m\leq n^2$. Soit $m\in\mathbb{N}$, prenons $n=m$. Si $m=0$, $n^2=0\geq m$. Si $m\geq 1$, $n^2=m\cdot m\geq m$. Dans les deux cas $m\leq n^2$ : la négation est vraie.

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