Exercice corrigé : Examen : nombres premiers, contraposée et absurde

On utilise le résultat du cours : tout entier $N\geq 2$ est un produit de nombres premiers.

Partie A. Nombres de Mersenne.

1. Soient $x\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{N}^*$. Montrer que $x^b-1=(x-1)\displaystyle\sum_{j=0}^{b-1}x^j$.
2. Soit $n\geq 2$. Montrer par contraposée que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
3. La réciproque est-elle vraie ? On pourra calculer $23\times 89$.

Partie B. Nombres premiers de la forme $4k+3$.

4. Montrer que le produit de deux entiers de la forme $4k+1$ ($k\in\mathbb{N}$) est encore de cette forme, puis, par récurrence sur $s\geq 1$, qu'un produit de $s$ entiers de la forme $4k+1$ est de cette forme.
5. Soit $N\geq 2$ un entier de la forme $4k+3$. Montrer que $N$ admet un diviseur premier de la forme $4m+3$.
6. Démontrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3$.
7. Donner un entier de la forme $4k+1$ qui n'a aucun diviseur premier de la forme $4m+1$. Expliquer pourquoi la preuve de la question 6 ne s'adapte pas telle quelle aux nombres premiers de la forme $4k+1$.