Prépa, 1re année › Matrices › Calcul de l'image d'un vecteur
Calcul de l'image d'un vecteur : énoncé (MPSI)
Propriété
Calcul de l'image d'un vecteur
Avec $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$, $X=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(x)$ et $Y=\operatorname{Mat}_{\mathcal C}(u(x))$ : $$Y=AX.$$
Démonstration : Calcul de l'image d'un vecteur
Démonstration
Formule $Y=AX$
Écrivons $x=\sum_jx_je_j$ et $u(e_j)=\sum_ia_{ij}f_i$. Par linéarité : $$u(x)=\sum_{j=1}^px_ju(e_j)=\sum_{j=1}^px_j\sum_{i=1}^na_{ij}f_i=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^pa_{ij}x_j\Big)f_i.$$ La $i$-ème coordonnée de $u(x)$ est donc $\sum_ja_{ij}x_j=(AX)_i$.