Matrice d'une composée : énoncé (MPSI)
Matrice d'une composée
Soit $E,F,G$ munis de bases $\mathcal B,\mathcal C,\mathcal D$, $u\in\mathcal L(E,F)$ et $v\in\mathcal L(F,G)$. Alors $$\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal D}(v\circ u)=\operatorname{Mat}_{\mathcal C,\mathcal D}(v)\,\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u).$$ C'est la raison d'être de la définition du produit matriciel.
Démonstration : Matrice d'une composée
Matrice d'une composée
Notons $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$ et $B=\operatorname{Mat}_{\mathcal C,\mathcal D}(v)$. La colonne $j$ de $\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal D}(v\circ u)$ est $\operatorname{Mat}_{\mathcal D}\big(v(u(e_j))\big)$. Par la formule $Y=AX$ appliquée à $v$ : $$\operatorname{Mat}_{\mathcal D}\big(v(u(e_j))\big)=B\operatorname{Mat}_{\mathcal C}(u(e_j))=B\times(\text{colonne }j\text{ de }A),$$ qui est la colonne $j$ de $BA$. Les deux matrices ont les mêmes colonnes.
S’entraîner
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