Matrice d'un vecteur, d'une famille, d'une application linéaire : définition (MPSI)

Soit $E$ de dimension $p$ muni d'une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_p)$ et $F$ de dimension $n$ muni d'une base $\mathcal C=(f_1,\dots,f_n)$.

• Si $x=\sum_{j=1}^px_je_j$, la matrice de $x$ dans $\mathcal B$ est la colonne $\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(x)=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}$.
• La matrice d'une famille $(v_1,\dots,v_q)$ dans $\mathcal B$ est la matrice dont la colonne $j$ est $\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(v_j)$.
• Pour $u\in\mathcal L(E,F)$, la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal C$ est $$\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)=\operatorname{Mat}_{\mathcal C}\big(u(e_1),\dots,u(e_p)\big)\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K).$$ Sa colonne $j$ contient les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal C$. Pour un endomorphisme avec $\mathcal C=\mathcal B$, on note $\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)$.