Application linéaire canoniquement associée : définition (MPSI)

À $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ on associe $u_A:\mathcal M_{p,1}(\mathbb K)\to\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$, $X\mapsto AX$ (on identifie souvent $\mathcal M_{p,1}(\mathbb K)$ à $\mathbb K^p$). Sa matrice dans les bases canoniques est $A$.

On définit $\operatorname{Ker}A=\operatorname{Ker}u_A=\{X\mid AX=0\}$ et $\operatorname{Im}A=\operatorname{Im}u_A$. Comme $AX=\sum_jx_jC_j$, on a $\operatorname{Im}A=\operatorname{Vect}(C_1,\dots,C_p)$ où les $C_j$ sont les colonnes de $A$.