Isomorphisme entre $\mathcal L(E,F)$ et $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ : énoncé (MPSI)
Isomorphisme entre $\mathcal L(E,F)$ et $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$
L'application $u\mapsto\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal L(E,F)$ sur $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$. En conséquence, $$\dim\mathcal L(E,F)=\dim E\times\dim F.$$
Démonstration : Isomorphisme entre $\mathcal L(E,F)$ et $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$
Isomorphisme
La linéarité vient de ce que les coordonnées de $(\lambda u+\mu v)(e_j)=\lambda u(e_j)+\mu v(e_j)$ sont les combinaisons correspondantes des coordonnées.
Bijectivité : une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base, et ces images peuvent être choisies arbitrairement. Se donner $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, c'est se donner $u(e_1),\dots,u(e_p)$ par leurs coordonnées : il existe une unique $u$ ayant $A$ pour matrice.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Rang, noyau, image et équivalence
- Puissances d'une matrice unipotente
- Polynôme annulateur, inverse et puissances
Dans le cours
Matrices : Isomorphisme entre $\mathcal L(E,F)$ et $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$