Prépa, 1re année › Matrices › Écrire la matrice d'une application linéaire
Écrire la matrice d'une application linéaire : méthode (MPSI)
Méthode
Écrire la matrice d'une application linéaire
- Calculer l'image $u(e_j)$ de chaque vecteur de la base de départ.
- Décomposer chaque $u(e_j)$ dans la base d'arrivée $\mathcal C$.
- Ranger les coordonnées en colonnes, dans l'ordre des $e_j$.
La matrice a autant de colonnes que la dimension de l'espace de départ et autant de lignes que la dimension de l'espace d'arrivée.
Exemple
Deux matrices d'applications linéaires
- $u:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $u(x,y,z)=(x+2y-z,\,3x+z)$. Dans les bases canoniques : $u(1,0,0)=(1,3)$, $u(0,1,0)=(2,0)$, $u(0,0,1)=(-1,1)$, donc $$\operatorname{Mat}(u)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&0&1\end{pmatrix}.$$
- $D:\mathbb R_3[X]\to\mathbb R_2[X]$, $P\mapsto P'$, avec les bases $(1,X,X^2,X^3)$ et $(1,X,X^2)$. On a $D(1)=0$, $D(X)=1$, $D(X^2)=2X$, $D(X^3)=3X^2$, donc $$\operatorname{Mat}(D)=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}\in\mathcal M_{3,4}(\mathbb R).$$
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Inversion par Gauss-Jordan
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues