Prépa, 1re année › Matrices › Ce que conservent les opérations élémentaires
Ce que conservent les opérations élémentaires : énoncé (MPSI)
Propriété
Ce que conservent les opérations élémentaires
- Les opérations sur les lignes et sur les colonnes conservent le rang.
- Les opérations sur les lignes de la matrice augmentée $(A\mid B)$ conservent l'ensemble des solutions du système $AX=B$.
Démonstration : Ce que conservent les opérations élémentaires
Démonstration
Conservation
Une suite d'opérations revient à multiplier par des matrices inversibles : le rang est conservé (section 5).
Si les opérations sur les lignes reviennent à multiplier à gauche par $G\in GL_n(\mathbb K)$, le nouveau système est $GAX=GB$. Or $AX=B\Rightarrow GAX=GB$, et réciproquement en multipliant par $G^{-1}$.