Opérations élémentaires et matrices associées : définition (MPSI)

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont :

• permutation $L_i\leftrightarrow L_j$ ;
• dilatation $L_i\leftarrow\alpha L_i$ avec $\alpha\neq0$ ;
• transvection $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ avec $i\neq j$.

Chacune revient à multiplier à gauche par une matrice inversible de $GL_n(\mathbb K)$ :

• permutation : $I_n-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}$, égale à son inverse ;
• dilatation : $I_n+(\alpha-1)E_{ii}$, d'inverse $I_n+(\alpha^{-1}-1)E_{ii}$ ;
• transvection : $I_n+\lambda E_{ij}$, d'inverse $I_n-\lambda E_{ij}$ (car $E_{ij}^2=0$ pour $i\neq j$).

Les mêmes opérations sur les colonnes correspondent à une multiplication à droite (pour la transvection $C_j\leftarrow C_j+\lambda C_i$, la matrice est $I_p+\lambda E_{ij}$).