Exercice corrigé : Les formes linéaires sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$

Pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on définit $\varphi_M:\mathcal M_n(\mathbb K)\to\mathbb K$ par $\varphi_M(A)=\operatorname{tr}(MA)$.

1. Montrer que $\varphi_M$ est une forme linéaire et que $\Phi:M\mapsto\varphi_M$ est linéaire de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ dans $\mathcal L(\mathcal M_n(\mathbb K),\mathbb K)$.
2. Calculer $\varphi_M(E_{ij})$.
3. En déduire que $\Phi$ est un isomorphisme : toute forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$ s'écrit $A\mapsto\operatorname{tr}(MA)$ pour une unique $M$.
4. On admet que les seules matrices qui commutent avec toutes les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont les $\lambda I_n$. Soit $\psi$ une forme linéaire telle que $\psi(AB)=\psi(BA)$ pour tous $A,B$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\psi=\lambda\operatorname{tr}$.
5. Déterminer les formes linéaires $\psi$ vérifiant la condition de 4 et $\psi(I_n)=1$.