Soit $n\ge2$. On note $E_{ij}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
- Soit $\Delta=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$. Montrer que pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, $(\Delta M-M\Delta)_{ij}=(d_i-d_j)m_{ij}$. En déduire que les matrices qui commutent avec $D=\operatorname{diag}(1,2,\dots,n)$ sont exactement les matrices diagonales.
- Déterminer l'ensemble des matrices de $\mathcal M_3(\mathbb K)$ qui commutent avec $D'=\operatorname{diag}(1,1,2)$, et sa dimension.
- Montrer que pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ : $ME_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^nm_{ki}E_{kj}$ et $E_{ij}M=\displaystyle\sum_{l=1}^nm_{jl}E_{il}$.
- En déduire que les matrices qui commutent avec toutes les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont les $\lambda I_n$, $\lambda\in\mathbb K$.
Multiplier à gauche par une matrice diagonale multiplie la ligne $i$ par $d_i$ ; à droite, la colonne $j$ par $d_j$.
Pour 3, écrire $M=\sum_{k,l}m_{kl}E_{kl}$ et utiliser $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$.
Dans 4, $ME_{ij}$ n'a de non nul que sa colonne $j$, et $E_{ij}M$ que sa ligne $i$.
- $(\Delta M)_{ij}=\sum_k\delta_{ik}d_km_{kj}=d_im_{ij}$ et $(M\Delta)_{ij}=m_{ij}d_j$, d'où $(\Delta M-M\Delta)_{ij}=(d_i-d_j)m_{ij}$.
Pour $D=\operatorname{diag}(1,\dots,n)$ : $DM=MD\iff\forall i,j,\ (i-j)m_{ij}=0\iff\forall i\neq j,\ m_{ij}=0$. Les matrices qui commutent avec $D$ sont exactement les matrices diagonales.
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Avec $d=(1,1,2)$ : $d_i-d_j\neq0$ exactement pour $(i,j)\in\{(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)\}$. Donc $MD'=D'M$ si et seulement si $m_{13}=m_{23}=m_{31}=m_{32}=0$ : $$\mathcal C(D')=\left\{\begin{pmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&e\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,c,d,e\in\mathbb K\right\}=\operatorname{Vect}(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22},E_{33}),$$ de dimension $5$ (sous-famille de la base canonique, donc libre).
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$M=\sum_{k,l}m_{kl}E_{kl}$ et $E_{kl}E_{ij}=\delta_{li}E_{kj}$, donc $ME_{ij}=\sum_{k,l}m_{kl}\delta_{li}E_{kj}=\sum_km_{ki}E_{kj}$. De même $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ donne $E_{ij}M=\sum_{k,l}m_{kl}\delta_{jk}E_{il}=\sum_lm_{jl}E_{il}$.
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Les matrices $\lambda I_n$ commutent avec toutes les matrices. Réciproquement, soit $M$ commutant avec toute matrice, en particulier avec chaque $E_{ij}$. D'après 3, $ME_{ij}$ a pour seule colonne non nulle la colonne $j$, égale à $(m_{1i},\dots,m_{ni})^\top$, et $E_{ij}M$ a pour seule ligne non nulle la ligne $i$, égale à $(m_{j1},\dots,m_{jn})$. Comparons dans $ME_{ij}=E_{ij}M$ :
- coefficient $(k,j)$ avec $k\neq i$ : $m_{ki}=0$ ;
- coefficient $(i,j)$ : $m_{ii}=m_{jj}$. Comme $i$ et $j$ sont quelconques, tous les coefficients hors diagonale sont nuls (premier point avec $j$ arbitraire) et tous les coefficients diagonaux sont égaux à $\lambda=m_{11}$. Donc $M=\lambda I_n$.
Commutant de $\operatorname{diag}(1,\dots,n)$ : matrices diagonales ; commutant de $\operatorname{diag}(1,1,2)$ : dimension $5$ ; centre de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ : $\{\lambda I_n\}$