Prépa, 1re année › Matrices › Inversibilité et formule sur les coordonnées

Inversibilité et formule sur les coordonnées : énoncé (MPSI)

Propriété

Inversibilité et formule sur les coordonnées

$P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ est inversible et $(P_{\mathcal B,\mathcal B'})^{-1}=P_{\mathcal B',\mathcal B}$.
Si $X=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(x)$ et $X'=\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(x)$, alors, avec $P=P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ : $$X=PX'.$$ La formule donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.

Démonstration : Inversibilité et formule sur les coordonnées

Démonstration

Matrice de passage

Par la formule de composition, $P_{\mathcal B,\mathcal B'}P_{\mathcal B',\mathcal B}=\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(\mathrm{id})\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal B'}(\mathrm{id})=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal B}(\mathrm{id}\circ\mathrm{id})=I_n$, et de même dans l'autre sens.

Par la formule $Y=AX$ appliquée à $\mathrm{id}_E$ de $(E,\mathcal B')$ vers $(E,\mathcal B)$ : $$\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(x)=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(\mathrm{id}(x))=\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(\mathrm{id})\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(x)=PX'.$$

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Dans le cours

Matrices : Inversibilité et formule sur les coordonnées