Soit $u:\mathbb R_2[X]\to\mathbb R_2[X]$ définie par $u(P)=P+(1-X)P'$. On note $\mathcal B=(1,X,X^2)$.
- Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $\mathbb R_2[X]$.
- Écrire $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)$.
- Calculer $u(3-X+2X^2)$ à l'aide de $A$, puis vérifier directement.
- Déterminer le rang de $u$, une base de $\operatorname{Im}u$ et une base de $\operatorname{Ker}u$.
Calculer $u(1)$, $u(X)$, $u(X^2)$ et ranger leurs coordonnées en colonnes.
Les coordonnées de $3-X+2X^2$ dans $\mathcal B$ forment la colonne $(3,-1,2)^\top$.
Remarquer que deux colonnes de $A$ sont égales.
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La dérivation est linéaire et la multiplication par $1-X$ aussi, donc $u$ est linéaire. Si $\deg P\le2$, alors $\deg P'\le1$ et $\deg\big((1-X)P'\big)\le2$ : $u(P)\in\mathbb R_2[X]$. Donc $u\in\mathcal L(\mathbb R_2[X])$.
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$u(1)=1$ ; $u(X)=X+(1-X)=1$ ; $u(X^2)=X^2+(1-X)\cdot2X=2X-X^2$. En rangeant les coordonnées en colonnes : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&2\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
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Avec $X_0=(3,-1,2)^\top$ : $$AX_0=\begin{pmatrix}3-1+0\\0+0+4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix},$$ donc $u(3-X+2X^2)=2+4X-2X^2$. Vérification : $P'=-1+4X$, $(1-X)P'=-1+4X+X-4X^2=-1+5X-4X^2$, et $P+(1-X)P'=2+4X-2X^2$.
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$\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(1),u(X),u(X^2))=\operatorname{Vect}(1,\,2X-X^2)$. Ces deux polynômes sont de degrés distincts et non nuls, donc libres : $\operatorname{rg}u=2$ et $(1,2X-X^2)$ est une base de $\operatorname{Im}u$.
Par le théorème du rang, $\dim\operatorname{Ker}u=3-2=1$. Or $u(X-1)=u(X)-u(1)=0$ et $X-1\neq0$. Donc $\operatorname{Ker}u=\operatorname{Vect}(X-1)$.
$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&2\\0&0&-1\end{pmatrix}$, $u(3-X+2X^2)=2+4X-2X^2$, $\operatorname{rg}u=2$, $\operatorname{Ker}u=\operatorname{Vect}(X-1)$