Prépa, 1re année › Matrices › Formules de changement de base

Formules de changement de base : énoncé (MPSI)

Théorème

Formules de changement de base

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$, $\mathcal B,\mathcal B'$ deux bases de $E$, $\mathcal C,\mathcal C'$ deux bases de $F$, $P=P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ et $Q=P_{\mathcal C,\mathcal C'}$. Avec $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$ et $A'=\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal C'}(u)$ : $$A'=Q^{-1}AP.$$ Pour un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$, avec $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)$ et $A'=\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(u)$ : $$A'=P^{-1}AP.$$

Démonstration : Formules de changement de base

Démonstration

Changement de base

On écrit $u=\mathrm{id}_F\circ u\circ\mathrm{id}_E$ en suivant les bases $(E,\mathcal B')\to(E,\mathcal B)\to(F,\mathcal C)\to(F,\mathcal C')$ : $$\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal C'}(u)=\operatorname{Mat}_{\mathcal C,\mathcal C'}(\mathrm{id}_F)\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(\mathrm{id}_E)=P_{\mathcal C',\mathcal C}\,A\,P_{\mathcal B,\mathcal B'}=Q^{-1}AP.$$ Le cas de l'endomorphisme correspond à $\mathcal C=\mathcal B$, $\mathcal C'=\mathcal B'$, donc $Q=P$.

Exemple

Changement de base et puissances

Soit $f\in\mathcal L(\mathbb R^2)$ de matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal B$. Posons $e'_1=(1,1)$ et $e'_2=(1,-1)$.

On a $f(e'_1)=(4,4)=4e'_1$ et $f(e'_2)=(2,-2)=2e'_2$. La famille $\mathcal B'=(e'_1,e'_2)$ est une base (matrice $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ de déterminant $-2\neq0$), et $$\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(f)=D=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}.$$ Comme $P^2=2I_2$, $P^{-1}=\frac12P$, et on vérifie $P^{-1}AP=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\4&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}$.

De $A=PDP^{-1}$ on tire, par récurrence (les facteurs $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient), $A^n=PD^nP^{-1}$ : $$A^n=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}4^n+2^n&4^n-2^n\\4^n-2^n&4^n+2^n\end{pmatrix}.$$ On retrouve le résultat obtenu par polynôme annulateur en section 1.

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Dans le cours

Matrices : Formules de changement de base