Matrices équivalentes, matrices semblables : définition (MPSI)

• $A,A'\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont équivalentes s'il existe $Q\in GL_n(\mathbb K)$ et $P\in GL_p(\mathbb K)$ telles que $A'=Q^{-1}AP$.
• $A,A'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ telle que $A'=P^{-1}AP$.

Ce sont des relations d'équivalence. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans des couples de bases différents ; deux matrices carrées sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases (même base au départ et à l'arrivée).