Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$.
- Écrire $A=I_3+N$ et calculer $N^2$ et $N^3$.
- Calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
- Calculer $(I_3+N)(I_3-N+N^2)$. En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$. La formule de la question 2 est-elle encore valable pour $n=-1$ ?
$N$ est triangulaire supérieure stricte : ses puissances « montent » vers le coin supérieur droit.
$I_3$ commute avec $N$ : le binôme s'applique et la somme s'arrête à $k=2$.
Penser à l'identité $(1+x)(1-x+x^2)=1+x^3$.
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$N=A-I_3=\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}$. Le seul coefficient non nul de $N^2$ est $(N^2)_{13}=0\times3+2\times2+3\times0=4$ : $$N^2=\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad N^3=N^2N=0$$ (la ligne $1$ de $N^2$ est $(0,0,4)$ et la ligne $3$ de $N$ est nulle). Donc $N^k=0$ pour $k\ge3$.
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$I_3$ et $N$ commutent, donc pour $n\in\mathbb N$ : $$A^n=\sum_{k=0}^n\binom nkN^k=I_3+nN+\frac{n(n-1)}2N^2,$$ les termes $k\ge3$ étant nuls ; la formule vaut aussi pour $n=0$ et $n=1$ car alors $\frac{n(n-1)}2=0$. Le coefficient $(1,3)$ vaut $3n+2n(n-1)=2n^2+n$. Ainsi $$A^n=\begin{pmatrix}1&2n&2n^2+n\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Contrôle pour $n=2$ : $(A^2)_{13}=1\times3+2\times2+3\times1=10=2\times4+2$.
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$(I_3+N)(I_3-N+N^2)=I_3-N+N^2+N-N^2+N^3=I_3+N^3=I_3$. Un inverse à droite suffit : $A$ est inversible et $$A^{-1}=I_3-N+N^2=\begin{pmatrix}1&-2&-3+4\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Avec $n=-1$ dans la formule : $2n=-2$ et $2n^2+n=2-1=1$. On retrouve $A^{-1}$ : la formule reste valable pour $n=-1$.
$A^n=\begin{pmatrix}1&2n&2n^2+n\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}$, $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$