Exercice 15 · Type CCINP : une transformation qui envoie le demi-plan supérieur sur le disque unité
examen●●●On définit $f$ sur $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$ par $f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$. On note $\mathcal{P}=\{z\in\mathbb{C}:\mathrm{Im}(z)>0\}$ et $\mathcal{D}=\{w\in\mathbb{C}:|w|<1\}$.
- Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(i)$ et $f(-1)$.
- Montrer que $f$ ne prend jamais la valeur $1$, puis que pour tout $w\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$, l'équation $f(z)=w$ admet une unique solution dans $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$, que l'on exprimera en fonction de $w$.
- Pour $z=x+iy\neq-i$ ($x,y$ réels), calculer $|z+i|^2-|z-i|^2$. En déduire que $|f(z)|=1\iff z\in\mathbb{R}$, et que $|f(z)|<1\iff z\in\mathcal{P}$.
- Pour $\varphi\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$, écrire $f(\tan\varphi)$ sous forme exponentielle. En déduire que $f(\mathbb{R})=\mathbb{U}\setminus\{1\}$.
- Montrer que $f(\mathcal{P})=\mathcal{D}$.
Pour $f(1)$, multiplier par le conjugué du dénominateur.
Écrire $f(z)=w$ sous la forme $z(1-w)=i(1+w)$ et vérifier que la solution trouvée est différente de $-i$.
$|f(z)|$ compare les distances de $M(z)$ aux points d'affixes $i$ et $-i$.
Multiplier numérateur et dénominateur de $f(\tan\varphi)$ par $\cos\varphi$, puis factoriser par $\pm i$.
Pour l'inclusion $\mathcal{D}\subset f(\mathcal{P})$, utiliser la question 2 puis la question 3.
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$f(0)=\frac{-i}{i}=-1$ ; $f(1)=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$ ; $f(i)=0$ ; $f(-1)=\frac{-1-i}{-1+i}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{2}=i$.
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Si $f(z)=1$, alors $z-i=z+i$, soit $2i=0$ : impossible. Soit $w\neq1$. Pour $z\neq-i$ : $$f(z)=w\iff z-i=w(z+i)\iff z(1-w)=i(1+w)\iff z=i\,\frac{1+w}{1-w}.$$ Ce nombre est bien différent de $-i$ : sinon $1+w=-(1-w)$, soit $1=-1$. L'équation a donc une unique solution, $z=i\frac{1+w}{1-w}$. Ainsi $f$ est une bijection de $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$ sur $\mathbb{C}\setminus\{1\}$, de réciproque $w\mapsto i\frac{1+w}{1-w}$.
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$|z+i|^2-|z-i|^2=\left(x^2+(y+1)^2\right)-\left(x^2+(y-1)^2\right)=4y$. Comme $|f(z)|=\frac{|z-i|}{|z+i|}$ avec $|z+i|>0$, et que les modules sont positifs : $$|f(z)|<1\iff|z-i|^2<|z+i|^2\iff4y>0\iff z\in\mathcal P,$$ et de même $|f(z)|=1\iff y=0\iff z\in\mathbb{R}$. Géométriquement, la médiatrice du segment joignant $i$ et $-i$ est l'axe réel.
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Pour $\varphi\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$, $\cos\varphi>0$ et $\tan\varphi\neq-i$ car réel. En multipliant par $\cos\varphi$ : $$f(\tan\varphi)=\frac{\sin\varphi-i\cos\varphi}{\sin\varphi+i\cos\varphi}=\frac{-i(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{i(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\frac{-ie^{i\varphi}}{ie^{-i\varphi}}=-e^{2i\varphi}=e^{i(2\varphi+\pi)}.$$ Inclusion $f(\mathbb{R})\subset\mathbb{U}\setminus\{1\}$ : par 3, $|f(x)|=1$ pour $x$ réel, et par 2, $f(x)\neq1$. Inclusion réciproque : soit $w\in\mathbb{U}\setminus\{1\}$ ; on l'écrit $w=e^{i\alpha}$ avec $\alpha\in]0,2\pi[$ (l'argument dans $[0,2\pi[$ n'est pas $0$ car $w\neq1$). Le réel $\varphi=\frac{\alpha-\pi}{2}$ appartient à $\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ et $f(\tan\varphi)=e^{i(2\varphi+\pi)}=e^{i\alpha}=w$. Donc $f(\mathbb{R})=\mathbb{U}\setminus\{1\}$.
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Inclusion $f(\mathcal P)\subset\mathcal D$ : $-i\notin\mathcal P$, et pour $z\in\mathcal P$, $|f(z)|<1$ par 3. Inclusion réciproque : soit $w\in\mathcal D$. Alors $w\neq1$ car $|1|=1$, donc par 2 il existe $z\neq-i$ tel que $f(z)=w$. Comme $|f(z)|=|w|<1$, la question 3 donne $z\in\mathcal P$. Donc $w\in f(\mathcal P)$, et $f(\mathcal P)=\mathcal D$.
$f^{-1}(w)=i\frac{1+w}{1-w}$ ; $f(\tan\varphi)=e^{i(2\varphi+\pi)}$ ; $f(\mathbb R)=\mathbb U\setminus\{1\}$ ; $f(\mathcal P)=\mathcal D$