Prépa, 1re année › Nombres complexes › Règles de calcul sur le conjugué

Règles de calcul sur le conjugué : énoncé (MPSI)

Propriété

Règles de calcul sur le conjugué

Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :

$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$, $\quad\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$, $\quad\overline{\overline{z}}=z$ ;
si $z'\neq 0$ : $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ ; pour $n\in\mathbb{N}$, $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$ ;
$\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ et $\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ ;
$z\in\mathbb{R}\iff \overline{z}=z$ et $z\in i\mathbb{R}\iff\overline{z}=-z$.

Démonstration : Règles de calcul sur le conjugué

Démonstration

Conjugué d'un produit

Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. On a $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$, donc $\overline{zz'}=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Par ailleurs $\overline{z}\,\overline{z'}=(a-ib)(a'-ib')=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Les deux expressions coïncident.

Pour le quotient : $z=\dfrac{z}{z'}\cdot z'$ donne $\overline{z}=\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}\,\overline{z'}$, et $\overline{z'}\neq 0$ car $z'\neq 0$.

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Nombres complexes : Règles de calcul sur le conjugué