Écrire sous forme algébrique les nombres suivants, puis donner leur module.
- $z_1=(1+2i)^2(3-i)$.
- $z_2=\dfrac{3+i}{1-2i}$.
- $z_3=i^{2026}+(1+i)^8$.
Pour $z_1$ et $z_2$, contrôler le module obtenu à l'aide des règles $|zz'|=|z||z'|$ et $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.
Pour $z_1$, développer d'abord $(1+2i)^2$ en utilisant $i^2=-1$.
Pour $z_2$, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Pour $z_3$, utiliser $i^4=1$ et calculer $(1+i)^2$ avant d'élever à la puissance 4.
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On a $(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i$. Donc $$z_1=(-3+4i)(3-i)=-9+3i+12i-4i^2=-5+15i.$$ Module : $|z_1|=\sqrt{(-5)^2+15^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$. Contrôle : $|z_1|=|1+2i|^2\,|3-i|=5\sqrt{10}$, car $|1+2i|^2=5$ et $|3-i|=\sqrt{10}$.
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On multiplie par $\overline{1-2i}=1+2i$ : $$z_2=\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{3+6i+i+2i^2}{1+4}=\frac{1+7i}{5}=\frac15+\frac75i.$$ Module : $|z_2|=\dfrac{\sqrt{1+49}}{5}=\dfrac{5\sqrt2}{5}=\sqrt2$. Contrôle : $\dfrac{|3+i|}{|1-2i|}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt5}=\sqrt2$.
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Comme $i^4=1$ et $2026=4\times506+2$, on a $i^{2026}=(i^4)^{506}i^2=-1$. Ensuite $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$, donc $(1+i)^8=(2i)^4=16i^4=16$. Ainsi $z_3=-1+16=15$, réel positif, de module $|z_3|=15$.
$z_1=-5+15i$, $|z_1|=5\sqrt{10}$ ; $z_2=\frac15+\frac75i$, $|z_2|=\sqrt2$ ; $z_3=15$