Se ramener aux racines n-ièmes de l'unitéFactoriser par l'angle moitiéInterpréter un module comme une distance
Soit $n\geqslant2$. On considère l'équation $(E)$ : $(z+1)^n=(z-1)^n$, d'inconnue $z\in\mathbb{C}$.
- Montrer que toute solution de $(E)$ vérifie $|z+1|=|z-1|$. En déduire, sans calcul de racines, que les solutions sont imaginaires pures.
- Montrer que $1$ n'est pas solution et que $(E)$ équivaut à $\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^n=1$.
- Résoudre $(E)$ ; exprimer les solutions à l'aide de la fonction cotangente $\cot=\frac{\cos}{\sin}$.
- Combien $(E)$ a-t-elle de solutions ? Vérifier pour $n=2$.
Indice 1
Prendre le module des deux membres ; la fonction $t\mapsto t^n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
Indice 2
$|z+1|$ et $|z-1|$ sont les distances de $M(z)$ aux points d'affixes $-1$ et $1$.
Indice 3
Poser $w=\frac{z+1}{z-1}$, exprimer $z$ en fonction de $w$ et voir quelle valeur de $w$ est impossible.
Indice 4
Pour $w=e^{i\theta}$, factoriser $w+1$ et $w-1$ par $e^{i\theta/2}$.
🔒 Corrigé Premium
Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine
Créer mon compte gratuit