Exercice corrigé : Type Mines-Ponts : triangles équilatéraux et nombre j

On note $j=e^{2i\pi/3}$. Pour trois points distincts $A,B,C$ d'affixes $a,b,c$, on dit que $ABC$ est équilatéral direct si $c-a=e^{i\pi/3}(b-a)$, c'est-à-dire si $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac\pi3$.

1. Montrer que $1+j=-j^2$ et que $-j^2=e^{i\pi/3}$.
2. Montrer que pour tous $a,b,c\in\mathbb{C}$ : $c-a=e^{i\pi/3}(b-a)\iff a+jb+j^2c=0$. En déduire que si $a\neq b$ et $a+jb+j^2c=0$, alors $ABC$ est équilatéral direct.
3. Soit $A,B,C$ trois points d'affixes $a,b,c$. On définit les points $A',B',C'$ d'affixes $a',b',c'$ par $$c+jb+j^2a'=0,\qquad a+jc+j^2b'=0,\qquad b+ja+j^2c'=0.$$ Exprimer $a',b',c'$ en fonction de $a,b,c$ et $j$. (Lorsque $ABC$ est un triangle direct, $CBA'$, $ACB'$ et $BAC'$ sont les triangles équilatéraux construits à l'extérieur de $ABC$ sur ses côtés ; ce point n'est pas à démontrer.)
4. On note $P,Q,R$ les centres de gravité des triangles $CBA'$, $ACB'$, $BAC'$ : $p=\frac{b+c+a'}{3}$, $q=\frac{c+a+b'}{3}$, $r=\frac{a+b+c'}{3}$. Montrer que $p+jq+j^2r=0$ et conclure sur le triangle $PQR$.
5. Montrer que $ABC$ et $PQR$ ont le même centre de gravité.
6. Application : $a=0$, $b=2$, $c=2i$. Calculer $p$, $q$, $r$ et la longueur $PQ$.