Prépa, 1re année › Nombres complexes › Mettre un quotient sous forme algébrique

Mettre un quotient sous forme algébrique : méthode (MPSI)

Méthode

Mettre un quotient sous forme algébrique

Pour écrire $\dfrac{z}{w}$ sous la forme $a+ib$ :

multiplier numérateur et dénominateur par $\overline{w}$ ;
le dénominateur devient $w\overline{w}=\mathrm{Re}(w)^2+\mathrm{Im}(w)^2$, réel strictement positif ;
développer le numérateur et séparer parties réelle et imaginaire.

Exemple

Calculs en forme algébrique

$(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=5-5i$.
$\dfrac{1}{3+4i}=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3-4i}{25}=\dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i$.
$\dfrac{1+2i}{2-i}=\dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i+4i+2i^2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i$.

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