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Prépa, 1re année › Nombres réels › Comparer deux réels

Comparer deux réels : méthode (MPSI)

Méthode

Comparer deux réels

Pour montrer $A \le B$, on dispose de plusieurs outils :

  1. étudier le signe de $B - A$ (factoriser, faire apparaître un carré) ;
  2. si $A$ et $B$ sont strictement positifs, comparer $\dfrac{B}{A}$ à $1$ ;
  3. si $A$ et $B$ sont positifs, comparer $A^2$ et $B^2$ ;
  4. appliquer une fonction monotone à une inégalité connue (une fonction décroissante renverse le sens).
Exemple

Deux inégalités classiques

Pour tous réels $x, y$ : $(x - y)^2 \ge 0$ donne $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$, donc $$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$ Pour tous réels $a, b \ge 0$, on applique ce qui précède à $x = \sqrt{a}$ et $y = \sqrt{b}$ : $$\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}.$$ C'est l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique. Il y a égalité si et seulement si $a = b$, puisque $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$ équivaut à $\sqrt{a} = \sqrt{b}$.

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Dans le cours

Nombres réels : Comparer deux réels