Démontrer une égalité de parties entières par encadrementRaisonner par disjonction de cas sur les parties fractionnaires
- Montrer que pour tout réel $x$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$\left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor.$$
- Montrer que pour tous réels $x, y$ : $$\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor x + y \rfloor \le \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor.$$
Indice 1
Pour 1, poser $k = \lfloor x \rfloor$ et montrer $k \le \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$.
Indice 2
Un entier inférieur ou égal à un réel $y$ est inférieur ou égal à $\lfloor y \rfloor$.
Indice 3
Pour 2, écrire $x = m + s$ et $y = p + t$ avec $m, p$ entiers et $s, t \in [0, 1[$, puis discuter selon que $s + t < 1$ ou non.
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