Raisonner par disjonction de casUtiliser les propriétés de la valeur absolue
Soient $x$ et $y$ deux réels.
- Montrer que $\max(x, y) = \dfrac{x + y + |x - y|}{2}$ et $\min(x, y) = \dfrac{x + y - |x - y|}{2}$.
- Montrer que $|x + y| + |x - y| = 2\max(|x|, |y|)$.
- En déduire que $|x| + |y| \le |x + y| + |x - y|$.
Indice 1
Pour 1, distinguer les cas $x \ge y$ et $x < y$.
Indice 2
Pour 2, remarquer que le membre de gauche ne change pas quand on remplace $x$ par $-x$ ou $y$ par $-y$ : on peut se ramener à $x, y \ge 0$.
Indice 3
Pour 3, comparer le maximum de deux réels à leur moyenne.
Corrigé
- Si $x \ge y$ : $|x - y| = x - y$, donc $\dfrac{x + y + |x - y|}{2} = \dfrac{2x}{2} = x = \max(x, y)$ et $\dfrac{x + y - |x - y|}{2} = \dfrac{2y}{2} = y = \min(x, y)$.
Si $x < y$ : $|x - y| = y - x$, donc $\dfrac{x + y + |x - y|}{2} = y = \max(x, y)$ et $\dfrac{x + y - |x - y|}{2} = x = \min(x, y)$.
Les deux formules sont vraies dans tous les cas.
- On note $S(x, y) = |x + y| + |x - y|$. On a $S(x, -y) = |x - y| + |x + y| = S(x, y)$ et $S(-x, y) = |-x + y| + |-x - y| = |x - y| + |x + y| = S(x, y)$. Le membre de droite $2\max(|x|, |y|)$ ne change pas non plus quand on change $x$ en $-x$ ou $y$ en $-y$. On peut donc supposer $x \ge 0$ et $y \ge 0$, quitte à remplacer $x$ par $|x|$ et $y$ par $|y|$.
Dans ce cas $|x + y| = x + y$, et la question 1 donne $$S(x, y) = x + y + |x - y| = 2\max(x, y) = 2\max(|x|, |y|).$$
- Le maximum de deux réels est supérieur ou égal à leur moyenne : $\max(|x|, |y|) \ge \dfrac{|x| + |y|}{2}$ (si par exemple $|x| \ge |y|$, alors $2|x| \ge |x| + |y|$). Avec la question 2 : $$|x + y| + |x - y| = 2\max(|x|, |y|) \ge |x| + |y|.$$
Résultat :
$\max(x,y) = \frac{x+y+|x-y|}{2}$, $\min(x,y) = \frac{x+y-|x-y|}{2}$, $|x+y|+|x-y| = 2\max(|x|,|y|) \ge |x|+|y|$