Exercice corrigé : Trois inégalités classiques

1. On développe : $$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca).$$ Une somme de carrés est positive, donc $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) \ge 0$. Il y a égalité si et seulement si les trois carrés sont nuls, c'est-à-dire $a = b = c$.

2. Pour $u, v > 0$, on a $u + v \ge 2\sqrt{uv}$. Ainsi $$a + b \ge 2\sqrt{ab} > 0, \quad b + c \ge 2\sqrt{bc} > 0, \quad c + a \ge 2\sqrt{ca} > 0.$$ Ce sont des inégalités entre réels positifs, on peut les multiplier : $$(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8\sqrt{(abc)^2} = 8abc,$$ car $abc > 0$. Si $a = b = c$, les deux membres valent $8a^3$. Réciproquement, s'il y a égalité, aucune des trois inégalités ne peut être stricte : si par exemple $a + b > 2\sqrt{ab}$, en multipliant par $(b + c)(c + a) > 0$ puis en minorant, on obtiendrait une inégalité stricte. Donc $a + b = 2\sqrt{ab}$, soit $(\sqrt a - \sqrt b)^2 = 0$ et $a = b$ ; de même $b = c$. Égalité si et seulement si $a = b = c$.

3. On a $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \ge 0$, donc $4ab \le (a + b)^2 = 1$, soit $ab \le \dfrac14$.

On développe : $$\left(1 + \frac1a\right)\left(1 + \frac1b\right) = 1 + \frac1a + \frac1b + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{a + b}{ab} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{2}{ab}.$$ Comme $0 < ab \le \dfrac14$, la décroissance de l'inverse sur $\mathbb{R}_+^*$ donne $\dfrac{1}{ab} \ge 4$, donc le produit est supérieur ou égal à $1 + 8 = 9$. Il y a égalité si et seulement si $ab = \dfrac14$, c'est-à-dire $a = b = \dfrac12$.

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