Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}_+$. On pose $\alpha = \sup A$, $\beta = \sup B$ et $AB = \{ab \mid a \in A,\ b \in B\}$.
- Montrer que $AB$ est non vide et majorée, et que $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$.
- On note $s = \sup(AB)$. Montrer que $s \le \alpha\beta$ et que $s \ge 0$.
- Montrer que $s = \alpha\beta$.
- Montrer que le résultat tombe en défaut si on ne suppose plus $A, B \subset \mathbb{R}_+$ (on pourra prendre $A = B = [-2, 1]$).
Pour 2, multiplier des inégalités entre réels positifs.
Pour 3, traiter à part le cas $\alpha = 0$. Sinon, fixer $b \in B$ avec $b > 0$ et montrer que $\frac{s}{b}$ majore $A$.
On obtient ainsi $\alpha b \le s$ pour tout $b \in B$ : repasser à la borne supérieure, cette fois sur $B$.
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$A$ et $B$ sont non vides, donc $AB$ aussi. Si $a \in A$ et $b \in B$, alors $0 \le a \le \alpha$ et $0 \le b \le \beta$ ; en particulier $\alpha \ge a \ge 0$ et $\beta \ge 0$. En multipliant ces inégalités entre positifs, $ab \le \alpha\beta$ : $AB$ est majorée par $\alpha\beta$.
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$AB$ est non vide et majorée : elle admet une borne supérieure $s$. Comme $\alpha\beta$ majore $AB$, et que $s$ est le plus petit majorant, $s \le \alpha\beta$. Par ailleurs $AB \subset \mathbb{R}_+$ est non vide : si $c \in AB$, alors $s \ge c \ge 0$.
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Si $\alpha = 0$ : $0 \le s \le \alpha\beta = 0$, donc $s = 0 = \alpha\beta$.
On suppose désormais $\alpha > 0$. Soit $b \in B$.
- Si $b > 0$ : pour tout $a \in A$, $ab \in AB$ donc $ab \le s$, c'est-à-dire $a \le \dfrac{s}{b}$. Le réel $\dfrac sb$ majore $A$, donc $\alpha \le \dfrac sb$, soit $\alpha b \le s$.
- Si $b = 0$ : $\alpha b = 0 \le s$.
Dans tous les cas $\alpha b \le s$, donc $b \le \dfrac{s}{\alpha}$ (car $\alpha > 0$). Le réel $\dfrac s\alpha$ majore $B$, donc $\beta \le \dfrac s\alpha$, soit $\alpha\beta \le s$.
Avec la question 2, $s = \alpha\beta$, c'est-à-dire $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$.
- Avec $A = B = [-2, 1]$ : $\sup A \cdot \sup B = 1 \times 1 = 1$. Mais $(-2) \times (-2) = 4 \in AB$, donc $\sup(AB) \ge 4 > 1$. (En fait $\sup(AB) = 4$, car $|ab| \le 2 \times 2$ pour $a, b \in [-2, 1]$.) L'égalité est fausse : l'hypothèse de positivité est indispensable, car on ne peut multiplier des inégalités qu'entre réels positifs.
$\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ ; contre-exemple $A = B = [-2,1]$ : $\sup(AB) = 4 \neq 1$