On suppose $1 \le x \le 3$ et $2 \le y \le 5$. Donner un encadrement de chacune des expressions suivantes, en justifiant chaque étape.
- $x - 2y$
- $\dfrac{x}{y}$
- $x(y - 1)$
- $x^2 - y$
On ne soustrait pas des inégalités : on encadre d'abord $-2y$, puis on additionne.
Pour le quotient, encadrer d'abord $\dfrac{1}{y}$ en utilisant la décroissance de l'inverse sur $\mathbb{R}_+^*$.
Avant de multiplier deux encadrements, vérifier que tous les membres sont positifs.
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On multiplie $2 \le y \le 5$ par $-2 < 0$, ce qui renverse le sens : $-10 \le -2y \le -4$. On additionne avec $1 \le x \le 3$ (inégalités de même sens) : $$-9 \le x - 2y \le -1.$$
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On a $0 < 2 \le y \le 5$, donc par décroissance de l'inverse sur $\mathbb{R}_+^*$ : $\dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{2}$. Tous les membres de $1 \le x \le 3$ et de cet encadrement sont positifs, on peut donc multiplier : $$\frac{1}{5} \le \frac{x}{y} \le \frac{3}{2}.$$
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De $2 \le y \le 5$ on tire $1 \le y - 1 \le 4$. Les deux encadrements $1 \le x \le 3$ et $1 \le y - 1 \le 4$ portent sur des réels positifs, donc $$1 \le x(y - 1) \le 12.$$
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Comme $0 \le 1 \le x \le 3$, la croissance du carré sur $\mathbb{R}_+$ donne $1 \le x^2 \le 9$. Par ailleurs $-5 \le -y \le -2$. En additionnant : $$-4 \le x^2 - y \le 7.$$
Remarque : ces encadrements sont optimaux ici, car chaque borne est atteinte pour un choix de $(x, y)$ aux extrémités (par exemple $(1, 5)$ donne $x - 2y = -9$).
$-9 \le x-2y \le -1$ ; $\frac{1}{5} \le \frac{x}{y} \le \frac{3}{2}$ ; $1 \le x(y-1) \le 12$ ; $-4 \le x^2 - y \le 7$