Prépa, 1re année › Polynômes › Résoudre un système symétrique
Résoudre un système symétrique : méthode (MPSI)
Méthode
Résoudre un système symétrique
Pour trouver des nombres $x_1,\dots,x_n$ dont on connaît $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ :
- Former $P=X^n-\sigma_1X^{n-1}+\sigma_2X^{n-2}-\cdots+(-1)^n\sigma_n$.
- Les solutions sont exactement les $n$-uplets formés des racines de $P$ comptées avec multiplicité, dans n'importe quel ordre.
Exemple : $x+y+z=2$, $xy+yz+zx=-1$, $xyz=-2$. On forme $P=X^3-2X^2-X+2=(X^2-1)(X-2)=(X-1)(X+1)(X-2)$. Les solutions sont les $6$ permutations de $(1,-1,2)$.
En degré 2 : deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de $X^2-sX+p$.
Attention
Conditions d'application
Les relations coefficients-racines supposent $P$ scindé et les racines répétées selon leur multiplicité. On n'oublie ni la division par $a_n$, ni le signe $(-1)^k$.
S’entraîner
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Factorisation de X^6+8 et de X^4+X^2+1
- Un système symétrique non linéaire
- Racines de (X+1)^n−(X−1)^n et somme des cotangentes au carré