Résoudre un système symétriqueExprimer des sommes de puissances à l'aide des σ_kTrouver une racine évidente et factoriser
Déterminer tous les triplets $(x,y,z)\in\mathbb{C}^3$ tels que $$\begin{cases}x+y+z=0\\ x^2+y^2+z^2=14\\ x^3+y^3+z^3=-18\end{cases}$$
Indice 1
Exprimer $\sigma_2$ à l'aide de $\sigma_1$ et de $x^2+y^2+z^2$.
Indice 2
Chacun des nombres $x,y,z$ est racine de $X^3-\sigma_1X^2+\sigma_2X-\sigma_3$ : écrire cette égalité pour $t=x,y,z$ et sommer.
Indice 3
Le polynôme obtenu a une racine entière évidente.
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